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如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=,...

manfen5.com 满分网如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=manfen5.com 满分网,E为PD上一点,PE=2ED.
(1)求证:PA⊥平面ABCD.
(2)求二面角D-AC-E的正切值.
(3)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF∥平面AEC,若存在,指出F点位置,并证明,若不存在,说明理由.
(1)由题意及图形利用线面垂直的判定定理即可得证; (2)由于PA⊥平面ABCD,点E在PD线上,所过E作EG∥PA交AD于G,从而EG⊥平面ABCD,再利用三垂线定理或即可作出二面角的平面角; (3)因为PA,AB,AD两两垂直,所以可以建立空间直角坐标系,假设PC存在一点,F使得BF∥平面AEC,利用方程的思想求解即可. (1)证明:∵PA=AD=1,PD= ∴PA2+AD2=PD2即PA⊥AD 又∵PA⊥CD.AD∩CD=D ∴PA⊥平面ABCD (2)【解析】 过E作EG∥PA交AD于G,从而EG⊥平面ABCD′且AG=2GD.EG=,PA=.连接BD交AC于O,过G作GH∥OD交AC于H. 连接EH.∵GH⊥AC∴EH⊥AC ∴∠EHG为二面角D-AC-E的平面角. ∵HG=OD=. ∴tan∠EHG=. (3)【解析】 因为PA,AB,AD两两垂直,所以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,Z轴建立空间直角坐标系. 则A(0,0,0)B(1,0,0)C(1,1,0)P(0,0,1)E(0,) 设平面AEC的法向量,则即令y=1,则 假设PC存在一点F且(0≤λ≤1),使得BF∥平面AEC则. 又∵=(0,1,0)+(-λ,-λ,λ)=(-λ,1-λ,λ) ∴∴λ= ∴存在P的中点F,使得BF∥平面AEC.
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