Question

已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），直线：x+y=m与x轴的交点在抛物线C准线的右侧．
（Ⅰ）求证：直线与抛物线C恒有两个不同交点；
（Ⅱ）已知定点A（1，0），若直线与抛物线C的交点为Q，R，满足，是否存在实数m，使得原点O到直线的距离不大于，若存在，求出正实数p的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）联立x+y=m与y2=2px，证明△＞0，即可得到直线l与抛物线C恒有两个不同交点；    
（Ⅱ）根据，结合韦达定理，求出p的表达式，利用原点O到直线l的距离不大于，确定m的范围，由此可得正实数p的取值范围．
（Ⅰ）证明：由题知，
联立x+y=m与y2=2px，消去x可得y2+2py-2pm=0…（*）
∵p＞0且，∴△=4p2+8pm＞0，
所以直线l与抛物线C恒有两个不同交点；                                 …4分
（Ⅱ）【解析】
设Q（x1，y1），R（x2，y2），由（*）可得y1+y2=-2p，y1•y2=-2pm
故

=2y1y2+（1-m）（y1+y2）+（m-1）2=m2-（2+2p）m+1-2p=0
∴
又由原点O到直线l的距离不大于，则有，
由（Ⅰ）有，即，结合，化简该不等式得：5m2+2m+1＞0，恒成立，
∴，令t=m+1，则
而函数在上单调递减，∴
∴存在m且，实数p的取值范围为．…10分．