Question

已知数列{a_n}满足递推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₃=7
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列（b_n}满足b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）an=2an-1+1两边同时加上1，构造出数列{an+1}是以2为公比的等比数列，通过数列{an+1}的通项公式求出
{an}的通项公式
（2）由（1）求得bn==，利用错位相消法求和即可．
【解析】
（1）由已知，a3=2a2+1，得a2=3，同理得a1=1
在an=2an-1+1两边同时加上1，得出an+1=2（an-1+1），所以数列{an+1}是以2为公比的等比数列，
 首项为a1+1=2故an+1=2×2n-1=2n
化简得数列{an}的通项公式为an=2n-1．
（2）bn==
Sn=①
Sn=②
①-②得Sn=
故Sn=2-