Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N^*．
（1）若数列{a_n} 满足，且a₁=4，求数列{a_n} 的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b₁=1，，当n≥3，n∈N^*时，求证：①；②．

Answer

（1）求导函数，根据二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，可得b=2n，16n2a-4nb=0，从而可得函数的解析式，利用数列{an} 满足，f′（x）=x+2n，结合叠加法，即可求得结论；
（2）先证明，，从而有，可得b2n+1＜b2n-1；又，，从而结论成立；②由得，相减得，再叠加，利用放缩法，即可证得结论．
（1）【解析】
求导函数可得f′（x）=2ax+b，由题意知b=2n，16n2a-4nb=0
∴a=，b=2n，则f（x）=x2+2nx，n∈N*．             （2分）
∵数列{an} 满足，f′（x）=x+2n，
∵，∴，
∵a1=4，
∴=
∴   （6分）
（2）证明：①由b1=1得，由得
即，∴，∴b2n+1＜b2n-1
由及b1=1，可得：，
∵，∴b2n＜b2n+1（10分）
②由得
相减得
由①知：bn≠bn+1
所以==（14分）