Question

已知曲线C：x²-y|y|=1．
（1）画出曲线C的图象，
（2）若直线l：y=x+m与曲线C有两个公共点，求m的取值范围；
（3）若过点P（0，2）的直线与曲线C在x轴上方的部分交于不同的两点M，N，求t=的范围．

Answer

（1）去掉绝对值，将曲线化为两段曲线，分别画出这两段曲线即可；
（2）直线y=x+m的斜率为1，先讨论y≤0时有两个公共点时m的取值范围，再讨论y＞0时有一个公共点时m的取值范围，最后将两个范围合并即可；
（3）设出直线方程方程，与曲线方程联立，利用韦达定理及向量知识，利用k的范围，即可确定t的范围．
【解析】
（1）当y＞0时，x2-y2=1（2分）
当y≤0时x2+y2=1（2分）
曲线C的图象，如图所示…（计4分）
（2）若l：y=x+m与x2+y2=1（y≤0）有两个公共
点，则d=∈[，1），解得  …（6分）
若l：y=x+m与x2+y2=1（y≤0）和x2-y2=1
（y＞0）各有一个公共点，
则由图象知，m∈（-1，0）…（8分）
∴m的取值范围是                   …（9分）
（3）设过点P（0，2）的直线为y=kx+2
则由图象知，k∈（-1，1），…（10分）
设M，N的坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），则由
得（1-k2）x2-4kx-5=0，
∴…（12分）
∴
=
=
∵k∈（-1，1），∴0≤k2＜1，∴-1≤k2-1＜0，∴
∴，∴t≤-1…（14分）