Question

如图2所示，在边长为12的正方形AA'A'₁A₁中，点B，C在线段AA'上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A'₁、AA'₁于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A'₁、AA'₁于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A'A₁′与AA₁重合，构成如图3所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁．
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比．
（3）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求直线AP与直线A₁Q所成角的余弦值．

Answer

（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，证明AB垂直平面BCC1B1内的两条相交直线BC、BB1即可．
（2）说明AB为四棱锥A-BCQP的高，求出梯形BCQP的面积，即可求出平面APQ将三棱柱ABC-A1B1C1分成上部分的体积；同理求出下部分几何体的体积，即可得到它们之比．
（3）AB，BC，BB1两两互相垂直．以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，求出，，利求直线AP与直线A1Q所成角的余弦值．
【解析】
（1）证明：在正方形AA'A'1A1中，∵A'C=AA'-AB-BC=5，
∴三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．∵AB=3，BC=4，
∴AB2+BC2=AC2，则AB⊥BC．∵四边形AA'A'1A1为正方形，AA1∥BB1，
∴AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，∴AB⊥平面BCC1B1．
（2）【解析】
∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB为四棱锥A-BCQP的高．
∵四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
∴梯形BCQP的面积为，
∴四棱锥A-BCQP的体积，
由（1）知B1B⊥AB，B1B⊥BC，且AB∩BC=B，∴B1B⊥平面ABC．
∴三棱柱ABC-A1B1C1为直棱柱，
∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积为．
故平面APQ将三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下两部分的体积之比为．
（3）【解析】
由（1）、（2）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直．
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则A（3，0，0），A1（3，0，12），P（0，0，3），Q（0，4，7），
∴，，∴，
∵异面直线所成角的范围为，
∴直线AP与A1Q所成角的余弦值为．