已知数列{an}满足：a1=1，a2=，且an+2=．（I）求证：数列为等差数...

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂= manfen5.com 满分网

，且a_n+2=

．
（I）求证：数列 manfen5.com 满分网

为等差数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（III）求下表中前n行所有数的和S_n．

（1）把所给的递推式整理，构造要求的数列形式，仿写一个递推式，用数列的后一项去减前一项，合并同类项，发现满足等差中项公式，得到结论．（2）写出（1）中的数列通项，用叠乘的方法把其他项都约去，得到第n项和第一项，因第一项可求出结果，所以得到通项公式．（3）根据表中构造的新数列，由它的特点写出第n行的各数之和，代入所求数列的通项，整理出组合数形式，用二项式定理的各项系数之间的关系，得到第n行的各数之和，于是构造一个新数列用等比数列前n项和公式求解．【解析】（I）∵ = =， ∴， ∴数列满足等差中项公式为等差数列．（II）由（I）得故当n≥2时，即又当n=1时，满足上式所以通项公式为．（III）∵ ∴第n行各数之和 ∴表中前n行所有数的和 Sn=（22-2）+（23-2）++（2n+1-2） =（22+23++2n+1）-2n = =2n+2-2n-4

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考点分析：

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