Question

已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，．
（Ⅰ）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
（Ⅱ）过定点D（m，0）（m＞0）作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：∠AED=∠BED；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于x轴的直线l'被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出l'的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）则可得 ，，由 代入整理可求点M的轨迹C；
（II）要证明∠AED=∠BED，根据直线的倾斜角与斜率的关系，只要证KAE=-KBE即可；分两种情况讨论：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；（2）当直线l与x轴不垂直时，利用直线的斜率进行转换即得；
（III）假设存在满足条件的直线，根据垂径定理得性质可知，要使弦长为定值，则只要圆心到直线的距离为定值即可．
【解析】
（Ⅰ）设M（x，y），P（0，y'），Q（x'，0）（x'＞0）∵，．
∴且（3，y'）•（x，y-y'）=0…（2分）
∴．…（3分）∴y2=4x（x＞0）…（4分）
∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）．…（5分）
（Ⅱ）：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有∠AED=∠BED；…（6分）
（2）当直线l与x轴不垂直时，依题意，可设直线l的方程为y=k（x-m）（k≠0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点的坐标满足方程组
消去x并整理，得ky2-4y-4km=0∴…（7分）
设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2，则k1+k2=====…（9分）
∴tan∠AED+tan（180°-∠BED）=0∴tan∠AED=tan∠BED∵，
∴∠AED=∠BED．综合（1）、（2）可知∠AED=∠BED．…（10分）
（Ⅲ）假设存在满足条件的直线l'，其方程为x=a，AD的中点为O'，l'与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则O'H⊥FG，O'点的坐标为．
∵=，
∴|FH|2=|O'F|2-|O'H|2==（a-m+1）x1+a（m-a）…（12分）
∴|FG|2=（2|FH|）2=4[（a-m+1）x1+a（m-a）]
令a-m+1=0，得a=m-1
此时，|FG|2=4（m-1）
∴当m-1＞0，即m＞1时，（定值）
∴当m＞1时，满足条件的直线l'存在，其方程为x=m-1；当0＜m≤1时，满足条件的直线l'不存在．…（14分）