Question

已知点P在曲线y=e^x（e自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是（ ）
A．
B．2e
C．
D．e

Answer

考虑到两曲线关于直线y=x对称，求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离
【解析】
∵曲线y=ex（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，
故可先求点P到直线y=x的最近距离d
设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b，
∵y′=ex，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1
∴d==
∴丨PQ丨的最小值为2d=
故选 A