Question

已知动圆的圆心C在抛物线x²=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为    ．

Answer

首先确定MN为定长，再利用余弦定理，即可确定sin∠MCN的最大值．
【解析】
由题意，设C（x，y），则⊙C的方程（x-x）2+（y-y）2=x2+（y-p）2．
把y=0和x2=2py代入整理得x2-2xx+x2+p2=0．
设M、N的横坐标分别为x1、x2，则x1=x-p，x2=x+p．
∴|MN|=|x1-x2|=2p．
∵|CM|=|CN|==
∴=1-
∴-1≤cos∠MCN＜1，
∵0＜∠MCN＜π
∴0＜sin∠MCN≤1，
∴sin∠MCN的最大值为1
故答案为：1