Question

已知函数f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若x₁∈（0，），x₂∈（2，∞）且a∈[，2]时，求证：f（x₁）-f（x₂）≥ln2+．

Answer

（I）由f（x）=alnx+（a≠0），得：，由a≠0，令，知g（0）=1＞0．由此能求出实数a的范围．
（II）由（I）得：，设ax2-（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，则，得．由此入手能够证明f（x1）-f（x2）≥ln2+．
【解析】
（I）由f（x）=alnx+（a≠0），
得：，
∵a≠0，令，
∴g（0）=1＞0．
令或，
则0＜a＜2．
（II）由（I）得：，
设ax2-（2a+1）x+a=0（0＜a＜2）的两根为α，β，
则，得．
当x∈（0，α）和（β，+∞）时，，
函数f（x）单调递增；
当x∈和（2，β）时，，
函数f（x）单调递减，
则f（x1）≤f（a），f（x2）≥f（β），
则f（x2）-f（x1）≥f（β）-f（α）=alnβ-alnα-
=
=（利用）
令，x＞2
则，
则函数h（x）单调递增，
h（x）≥h（2）=2ln2+，
∴，
∵，
则，
∴f（x1）-f（x2）≥ln2+．