Question

如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D，C分别为EF，AF上的点，且ED=CF，现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图（2）的图形，再将△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD折起，使E，F，A三点重合于点A′．
（1）求证：BA′⊥CD；
（2）求四面体B-A′CD体积的最大值．

Answer

（1）通过折叠前与折叠后直线与直线的垂直，证明BA′⊥平面A′CD，然后证明BA′⊥CD．
（2）设A′C=x（0＜x＜2），得到A′D=2-x．求出S△A′CD=x（2-x）．然后推出VB-A′CD的表达式，利用二次函数求出体积最大值．
（1）证明：折叠前，BE⊥EC，BA⊥AD，折叠后BA′⊥A′C，BA′⊥A′D，
又A′C∩A′D=A′，
所以BA′⊥平面A′CD，
因为CD⊂平面A′CD，
因此BA′⊥CD．（4分）
（2）【解析】
设A′C=x（0＜x＜2），则A′D=2-x．因此S△A′CD=x（2-x）．（8分）
∴VB-A′CD=S△A′CD==．
所以当x=1时，四面体B-A′CD体积的最大值为．（12分）