Question

已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为2的内接圆柱．
（1）求圆柱的侧面积：
（2）高为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer

（1）由题设条件能画出圆锥及其内接圆柱的轴截面，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱，设所求的圆柱的底面半径为r．它的侧面积S=2πrx，由 =，能求出圆柱的侧面积．
（2）由圆柱的侧面积S是关于x的二次函数S=-x2+2πRx，能推导出当圆柱的高是已知圆锥的一半时，它的侧面积最大．
【解析】
（1）圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示．
设所求的圆柱的底面半径为r．它的侧面积S=2πrx，
∵=，∴r=R-•x，
∴S=2πRx-x2．
当x=2时，圆柱的侧面积为4πR-．
（2）由（1）知圆柱的侧面积S是关于x的二次函数：
S=-x2+2πRx，
∵S的表达式中x2的系数小于0，
∴这个二次函数有最大值，
这时圆柱的高x=，
即当圆柱的高是已知圆锥的一半时，它的侧面积最大．