Question

如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE，G，H分别为FA，FD的中点
（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；
（Ⅱ）C，D，F，E四点是否共面？为什么？
（Ⅲ）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．

Answer

解法1：（Ⅰ）直接证明GHBC推出四边形BCHG是平行四边形．
（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．推出EF∥CH，就是EC，FH共面．又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．
（Ⅲ）连接EC，证明BG⊥EA．BG⊥ED，ED∩EA=E，推出BG⊥平面ADE，然后证明平面ADE⊥平面CDE．
解法2：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-xyz
（Ⅰ）通过，又点G不在直线BC上，说明四边形BCHG是平行四边形．
（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．利用，又C∉EF，H∈FD，证明C，D，E，F四点共面．
（Ⅲ）通过，即CH⊥AE，CH⊥AD，说明平面ADE⊥平面CDE
解法1：（Ⅰ）由题意知，FG=GA，FH=HD
所以GH
又BC，故GHBC
所以四边形BCHG是平行四边形．

（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BE，G是FA的中点知，BEGF，所以EF∥BG
由（Ⅰ）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上
所以C，D，F，E四点共面．
（Ⅲ）连接EG，由AB=BE，BEAG及∠BAG=90°知ABEG是正方形
故BG⊥EA．由题设知FA，FD，AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，
因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BG⊥ED
又ED∩EA=E，所以BG⊥平面ADE
由（Ⅰ）知CH∥BG，所以CH⊥平面ADE．
由（Ⅱ）知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE

解法2：由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得AF⊥平面ABCD，
以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-xyz
（Ⅰ）设AB=a，BC=b，BE=c，则由题设得A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，b，0），D（0，2b，0），E（a，0，c），G（0，0，c），H（0，b，c）
所以
于是
又点G不在直线BC上
所以四边形BCHG是平行四边形．
（Ⅱ）C，D，F，E四点共面．理由如下：
由题设知F（0，0，2c），所以
又C∉EF，H∈FD，故C，D，E，F四点共面．
（Ⅲ）由AB=BE得，所以
又，因此
即CH⊥AE，CH⊥AD
又AD∩AE=A，所以CH⊥平面ADE
故由CH⊂平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE