Question

如图所示，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F分别是AD，AA₁的中点．
（1）求直线EF和直线AB₁所成的角的大小；
（2）求二面角D-A₁C₁-D₁的正切值．

Answer

（1）利用平移法，可得∠C1DA1（或其补角）就是直线EF和直线AB1所成的角，利用等边三角形，即可得到结论；
（2）连接B1D1，交A1C1于O，连接OD，则∠DOD1为二面角D-A1C1-D1的平面角，即可得到结论．
【解析】
（1）∵E，F分别是AD，AA1的中点，
∴EF∥A1D
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴AB1∥DC1
∴∠C1DA1（或其补角）就是直线EF和直线AB1所成的角，
在△C1DA1中，A1D=DC1=A1C1，∴∠C1DA1=60°，
即直线EF和直线AB1所成的角是60°；
（2）连接B1D1，交A1C1于O，连接OD，则∠DOD1为二面角D-A1C1-D1的平面角
∴tan∠DOD1==，
即二面角D-A1C1-D1的正切值为．