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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=AA1=4,点O是AC的中...

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=AA1=4,点O是AC的中点.
(1)求证:AD1∥平面DOC1
(2)求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值.

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(1)连接CD1交C1D于点E,连接OE,由E是CD1中点,O是AC中点,知OE∥AD1,由此能证明AD1∥平面DOC1. (2)连接BC1,BD,由E是PC中点,知EG∥DP.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,由AB∥A1B1∥C1D1,AB=A1B1=C1D1,知四边形ABC1D1是平行四边形,所以∠BC1D或其补角为异面直线AD与C1D所成的角,由此能求出异面直线AD1与C1D所成的角的余弦值. (1)证明:连接CD1交C1D于点E,连接OE ∵E是CD1中点,O是AC中点∴OE∥AD1 又∵OE⊂平面DOC1,AD1⊄平面DOC1 ∴AD1∥平面DOC1…(6分) (2)【解析】 连接BC1,BD ∵E是PC中点∴EG∥DP在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1∥C1D1,AB=A1B1=C1D1 ∴四边形ABC1D1是平行四边形 ∴BC1∥AD1 ∴∠BC1D或其补角为异面直线AD与C1D所成的角…(3分) 在△BC1D中,BC1=4,C1D=5,BD=5, ∴cos∠BC1D=, ∴异面直线AD1与C1D所成的角的余弦值为.…(3分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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