Question

如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=，F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求直线CE与平面ABED所成角的余弦值；
（3）求多面体ABCDE的体积．

Answer

（1）取CE中点P，连接FP、BP，证明ABPF为平行四边形，可得AF∥BP，利用线面平行的判定，可以证明AF∥平面BCE；
（2）过C作CO⊥AD，则O是AD的中点，连接OE，则∠CEO是直线CE与平面ABED所成角，从而可求直线CE与平面ABED所成角的余弦值；
（3）多面体ABCDE的体积，即可得到结论．．
（1）证明：取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP=DE．
又AB∥DE，且AB=DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．
又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE；
（2）【解析】
∵△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=，
∴BC2=AB2+AC2
∴AB⊥AC
∵AB⊥AD，AC∩AD=A
∴AB⊥平面ACD
∵AB⊂平面ABED
∴平面ABED⊥平面ACD
过C作CO⊥AD，则O是AD的中点，且CO⊥平面ABDE
连接OE，则∠CEO是直线CE与平面ABED所成角
∵OE=，CE=
∴cos∠CEO==
（3）【解析】
多面体ABCDE的体积为==．