Question

如图已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分别是AA₁，BB₁，AB，B₁C₁的中点，
（1）求证：面PCC₁⊥面MNQ；
（2）求证：PC₁∥面MNQ．

Answer

（1）先由AB⊥PC和CC1⊥AB⇒AB⊥面PCC1；再利用MN∥AB⇒MN⊥面PCC1即可得到面PCC1⊥面MNQ；．
（2）连PB1与MN相交于K，连KQ，把直线PC1平行面MNQ转化为证明PC1∥KQ即可．
证明：（1）∵AC=BC，P是AB的中点
∴AB⊥PC
∵AA1⊥面ABC，CC1∥AA1，
∴CC1⊥面ABC而AB在平面ABC内
∴CC1⊥AB，
∵CC1∩PC=C
∴AB⊥面PCC1；
又∵M，N分别是AA1、BB1的中点，
四边形AA1B1B是平行四边形，MN∥AB，
∴MN⊥面PCC1．
∵MN在平面MNQ内，
∴面PCC1⊥面MNQ；（4分）

（2）连PB1与MN相交于K，连KQ，
∵MN∥PB，N为BB1的中点，
∴K为PB1的中点．
又∵Q是C1B1的中点
∴PC1∥KQ而KQ⊂平面MNQ，PC1⊄平面MNQ
∴PC1∥面MNQ．（9分）