Question

如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值．

Answer

方法一：（1）先判断∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，进一步证明△BOD是直角三角形，即可知BO⊥DO；
（2）设E，F是BD，CD的中点，则EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD，过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，则可证∠AOH为AO与平面BOD所成角；
方法二：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明=0，即可；
（2）求出平面BOD的法向量是，=（，，-1），再利用向量夹角公式即可求得结论．
方法一：（1）证明：由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN，BC⊥MN，
∵折叠垂直关系不变，∴∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，依题意，所以∠AMD=60°，…（2分）
由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=，
在矩形ABCD中，AB=2，AD=，所以，BD=，由题可知BO=OD=，
由勾股定理可知△BOD是直角三角形，所以BO⊥DO     …（5分）
（2）【解析】
如图1（2）设E，F是BD，CD的中点，则EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD
又BO=OD，所以OE⊥BD，OE⊥面ABCD，OE⊂面BOD，平面BOD⊥平面ABCD
过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，…（8分）
所以OH是AO在平面BOD的投影，
所以∠AOH为所求的角，即AO与平面BOD所成角．…（11分）
AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=，BO=OD=，
所以sin∠AOH=（14分）
方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图2建系，则Q（0，0，0），B（，0，0），D（0，，2），O（0，，1），
所以=（，，1），=（0，，-1）
所以=0，即BO⊥DO（5分）
（2）设平面BOD的法向量是，
可得+z=0-z=0，令可得
所以A
又=（，，-1），
设AO与平面BOD所成角为θ
则=（14分）