Question

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足AE=FC=CP=1．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使平面A₁EF⊥平面EFB，连接A₁B，A₁P．（如图2）
（Ⅰ）若Q为A₁B中点，求证：PQ∥平面A₁EF；
（Ⅱ）求证：A₁E⊥EP．

Answer

（Ⅰ）取A1E中点M，利用三角形中位线的性质，可得QM∥BE，且，进一步可得QM∥PF，且QM=PF，从而四边形PQMF为平行四边形，可得PQ∥FM，利用线面平行的判定，可得PQ∥平面A1EF；
（Ⅱ） 取BE中点D，可得△ADF是正三角形，从而可得EF⊥AD，即A1E⊥EF，根据平面A1EF⊥平面EFB，可得A1E⊥平面BEF，利用线面垂直的性质，可得A1E⊥EP．
证明：（Ⅰ）取A1E中点M，连接QM，MF．
在△A1BE中，Q，M分别为A1B，A1E的中点，
所以QM∥BE，且．
因为，
所以PF∥BE，且，
所以QM∥PF，且QM=PF．
所以四边形PQMF为平行四边形．
所以PQ∥FM．                                                …（5分）
又因为FM⊂平面A1EF，且PQ⊄平面A1EF，
所以PQ∥平面A1EF．                                           …（7分）
（Ⅱ） 取BE中点D，连接DF．
因为AE=CF=1，DE=1，
所以AF=AD=2，而∠A=60°，即△ADF是正三角形．
又因为AE=ED=1，所以EF⊥AD．
所以在图2中有A1E⊥EF．…（9分）
因为平面A1EF⊥平面EFB，平面A1EF∩平面EFB=EF，
所以A1E⊥平面BEF．…（12分）
又EP⊂平面BEF，
所以A1E⊥EP．…（14分）