Question

已知点（x，y）在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x²+y²=8；定点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l与曲线C交于A、B两个不同点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求m的取值范围．

Answer

（1）先设曲线C上任取一个动点P的坐标（x，y），然后根据题意（x，2y）在圆x2+y2=8上，整理即可解出曲线C的方程．
（2）设出直线l的方程，与C的方程联立方程组，整理为一元二次方程，根据根的判别式△＞0，化简求出m的范围．
【解析】
（1）在曲线C上任取一个动点P（x，y），
则点（x，2y）在圆x2+y2=8上．
所以有x2+（2y）2=8．
整理得曲线C的方程为．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，
又，
∴直线l的方程为．
由，
得x2+2mx+2m2-4=0
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0，
解得-2＜m＜2且m≠0．
∴m的取值范围是-2＜m＜0或0＜m＜2．