Question

已知函数f（x）=xln（ax）+e^x-1在点（1，0）处切线经过椭圆4x²+my²=4m的右焦点，则椭圆两准线间的距离为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．18

Answer

求出函数的导函数，把x=1代入导函数求出的函数值即为切线方程的斜率，把x=1代入函数解析式中得到切点的纵坐标，进而确定出切点坐标，根据求出的斜率和切点坐标写出切线方程求得m，从而求得椭圆两准线间的距离即可．
【解析】
由题意得：y′=ln（ax）+1+ex-1，
把x=1代入得：y′|x=1=lna+2，
即切线方程的斜率k=lna+2，
且把x=1代入函数解析式得：y=lna+1=0，即a=，
则所求切线方程为：y-1=x，即y=x+1．
则椭圆4x2+my2=4m的焦点为（1，0）
∴c2=m-4=1，m=5，
∴a2=5，
∴椭圆两准线间的距离为==10
故选C．