Question

已知点F₁、F₂分别是双曲线=1的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，1+）
B．（1，）
C．（-1，1+）
D．（1，2）

Answer

根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF1|＜|EF1|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．
：【解析】
根据双曲线的对称性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AF1E中，∠AEF＜45°，得|AF1|＜|EF1|
∵|AF1|==，|EF1|=a+c
∴＜a+c，即2a2+ac-c2＞0
两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）
故选D．