Question

已知函数f（x）=sin2x-cos²x-，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，f（C）=0，若向量=（sinB，2）与向量=（1，-sinA）垂直，求a，b的值．

Answer

（I）根据二倍角公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x-）-1，结合正弦函数的单调区间公式，即可得到函数f（x）的单调递减区间；
（II）根据（I）的解析式，结合三角形内角的取值范围解f（C）=0得C=，由向量⊥解出sinB=2sinA，即b=2a，最后由由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子，代入前面的数据即可解出a、b的值．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=sin2x-（1+cos2x）-=sin2x-cos2x-1
=sin2xcos-cos2xsin-1=sin（2x-）-1，…（4分）
令2kπ+≤2x-≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）…（6分）
（Ⅱ）因为f（C）=sin（2C-）-1=0，所以sin（2C-）=1
又∵-＜2C-＜，∴2C-=，解之得C=…（8分）
∵向量=（sinB，2）与向量=（1，-sinA）垂直，
∴sinB-2sinA=0，即sinB=2sinA…（9分）
根据正弦定理得b=2a，再由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
得12=a2+4a2-4a2cos=3a2…（11分）
解之得a=2，所以b=2a=4．…（12分）