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高中数学试题
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已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R). (1)若a=1,求曲线处切线的斜率;...
已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R).
(1)若a=1,求曲线
处切线的斜率;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)设g(x)=2
x
,若对任意x
1
∈(0,+∞),存在x
2
∈[0,1],使f(x
1
)<g(x
2
),求实数a的取值范围.
(1)运用求导数法则,得f'(x)=1+,从而得到曲线处切线的斜率k=f'()=3; (2)首先f'(x)=a+,(x>0),再根据a的正负讨论f'(x)的取值,可得当a≥0时,函数f(x)=ax+lnx是(0,+∞)上的增函数;当a<0时,f(x)=ax+lnx在(0,-)上为增函数,在(-,+∞)上为减函数. (3)由题意,得f(x1)在(0,+∞)上的最大值小于g(x2)在[0,1]上的最大值.由指数函数单调性可得g(x2)在[0,1]上的最大值为g(1)=2,从而得到f(x1)在(0,+∞)上的最大值小于2.再结合(2)中函数单调性的结论,列出不等式并解之,即可得到实数a的取值范围为(-∞,-). 【解析】 (1)a=1时,f(x)=x+lnx ∴f'(x)=1+,可得f'()=3 ∴曲线处切线的斜率k=f'()=3 (2)由题意,得f'(x)=a+,(x>0) ∴当a≥0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立; 当a<0时,f'(x)=a+在(0,-)上为正数,在(-,+∞)上为负数 由此可得:当a≥0时,函数f(x)=ax+lnx是(0,+∞)上的增函数; 当a<0时,f(x)=ax+lnx在(0,-)上为增函数,在(-,+∞)上为减函数 (3)由题意,得f(x1)在(0,+∞)上的最大值小于g(x2)在[0,1]上的最大值. ∵g(x)=2x,[0,1]上是增函数 ∴g(x2)在[0,1]上的最大值为g(1)=2 即f(x1)在(0,+∞)上的最大值小于2 当a≥0时,函数f(x)=ax+lnx是(0,+∞)上的增函数,f(x1)没有最大值; 当a<0时,f(x1)在(0,+∞)上的最大值为f(-)=-1+ln(-)<2 解之得a,可得实数a的取值范围为(-∞,-).
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考点分析:
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1
B
1
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1
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1
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1
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1
,AB中点.
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1
A
1
;
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1
;
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1
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n
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n
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1
,a
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13
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n
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一般
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2
x-
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②f(x)关于直线x=1对称;
③f(x)在[1,2]上单调递减;
④f(-
)>f(3),
其中正确命题的序号是
.(请填上所有正确命题的序号)
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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