Question

已知椭圆C₁：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，F₁、F₂分别为其左右焦点．一动圆过点F₂，且与直线x=-1相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆C₁的方程； （ⅱ）求动圆圆心C轨迹的方程；
（Ⅱ）在曲线上C有两点M、N，椭圆C₁上有两点P、Q，满足MF₂与共线，与共线，且•=0，求四边形PMQN面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）（ⅰ）由题设知：，由此能求出椭圆方程．
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（1，0），准线方程为x=1，由此能求出动圆圆心轨迹方程．
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，|MN|=4，此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，从而四边形PMQN面积为8；设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），直线PQ的方程为y=，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），由，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，由抛物线定义可知：|MN|=4+，由此求出SPMQN=＞8，所以四边形PMQN面积的最小值为8．
【解析】
（Ⅰ）（ⅰ）由题设知：，
∴a=2，c=1，b=，
∴所求的椭圆方程为．
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，
且抛物线C的焦点为（1，0），
准线方程为x=1，则动圆圆心轨迹方程为C：y2=4x．
（Ⅱ）当直线斜率不存在时，|MN|=4，
此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|=4，
从而=8，
设直线MN的斜率为k，直线MN的方程为：y=k（x-1），
直线PQ的方程为y=，
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），
由，消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
由抛物线定义可知：
|MN|=|MF2|+|NF2|=x1+1+x2+1
==4+，
由，消去y得（3k2+4）x2-8x+4-12k2=0，
从而|PQ|==，
∴SPMQN==
=
=24，
令1+k2=t，∵k2＞0，则t＞1，
则SPMQN=
=
=．
因为3-=4-（1+）2∈（0，3），
所以SPMQN=＞8，
所以四边形PMQN面积的最小值为8．