Question

在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．
（1）求角C的最大值；
（2）若角C取得最大值，且a=2b，求角B的大小．

Answer

（1）易知cosC=0不满足条件，因此cosC≠0，由不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立⇔△=16sin2C-24cosC≤0，cosC＞0，化为2cos2x+3cosx-2≥0，
解得及0＜C＜π，即可得到角C取得最大值．
（2）角C取得最大值时为，由a=2b，根据正弦定理可得sinA=2sinB，于是，化为，与sin2B+cos2B=1联立及B＜A，即可得出．
【解析】
（1）易知cosC=0不满足条件，因此cosC≠0，
由不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立，
∴△=16sin2C-24cosC≤0，cosC＞0，化为2cos2x+3cosx-2≥0，
解得，
又0＜C＜π，当cosC=时，角C取得最大值．
（2）角C取得最大值时为，
∵a=2b，根据正弦定理可得sinA=2sinB，
∴，化为，与sin2B+cos2B=1联立解得．
∴a=2b，∴B＜A，∴．
∴．