Question

设数列{a_n} 满足a₁=a，an+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a、c为实数，且c≠0．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）设a=，c=，b_n=n（a-a_n）（n∈N^*），求数列 {b_n}的前n项和S_n．
（3）设，（n∈N^*），记，设数列{d_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜．

Answer

（1）把给出的递推式移向后讨论a，当a1=a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列，求出通项公式后验证a=1时成立；
（2）把数列{an} 的通项公式代入bn=n（a-an），然后利用错位相减法求数列 {bn}的前n项和Sn；
（3）把数列{an} 的通项公式代入化简，然后由放缩得到，最后通过求和证明Tn＜．
（1）【解析】
∵an+1=can+1-c，∴an+1-1=c（an-1）
∴当a1=a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列，
∴，即．
当a=1时，an=1仍满足上式．
∴数列{an} 的通项公式为；
（2）【解析】
由（1）得，当a=，c=时，
bn=n（1-an）=n{1-[1-]}=n 
∴

两式作差得

=；  
（3）证明：
dn=c2n-c2n-1=
又，∴，
当n=1时，，
当n≥2时，

．