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设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记....

设数列{an}的前n项和为Sn,对任意的正整数n,都有an=5Sn+1成立,记manfen5.com 满分网
(I)求数列{an}与数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Rn,是否存在正整数k,使得Rn≥4k成立?若存在,找出一个正整数k;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)记cn=b2n-b2n-1(n∈N*),设数列{cn}的前n项和为Tn,求证:对任意正整数n都有manfen5.com 满分网
(1)根据题中给的an=5Sn+1,继而可得an-1=5sn-1+1,两式子相减得,an-an-1=5an,因此,因而可得出an,bn的通项公式. (2)根据bn的通项公式,算出的前n项和为Rn,再计算出是否存在正整数k. (3)根据bn的通项公式,计算出cn的通项公式,再比较Tn与的大小. 【解析】 ( I)当n=1时,a1=5S1+1,∴ 又∵an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1∴ ∴数列{an}是首项为,公比为的等比数列, ∴, ( II)不存在正整数k,使得Rn≥4k成立. 证明:由(I)知 ∵. ∴当n为偶数时,设n=2m(m∈N*) ∴Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m)<8m=4n 当n为奇数时,设n=2m-1(m∈N*) ∴Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1<8(m-1)+4=8m-4=4n ∴对于一切的正整数n,都有Rn<4k ∴不存在正整数k,使得Rn≥4k成立. (III)由得 又,∴,当n=1时,, 当n≥2时, .
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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