Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC的中点，∠C₁DC=60°．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-C的大小．

Answer

（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，证明，利用线面平行的判定定理，即可得到结论；
（II）确定平面BC1D的一个法向量、平面BCC1B1的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D-BC1-C的大小．
【解析】
（Ⅰ）以AC的中点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1．
∵∠C1DC=60°，∴CC1=
则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），A1（1，0，），
B1（0，，），C1（-1，0，）
连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，则
∴，
∴．
∵AB1⊄平面BC1D，DO⊂平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．…（5分）
（Ⅱ）．
设平面BC1D的一个法向量为=（x，y，z），则
即，则有y=0
令z=1，则=（，0，1），设平面BCC1B1的一个法向量是为=（x'，y'，z'），，则
即，∴z′=0．
令y'=-1，则=（，-1，0）
∴
∴二面角D-BC1-C的大小为．…（12分）