Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R），求数列{b_n}前n项和的公式．

Answer

（1）本题是一个数列的基本量的运算，根据题目所给的首项和前连续三项的值，写出关于公差的方程，解方程可得结果．
（2）构造一个新数列，观察这个数列是有一个等差数列和一个等比数列的积构成的，这种结构要用错位相减法求的结果，解题时注意等比数列的公比与1的关系，进行讨论．
【解析】
（1）设数列{an}的公差为d，
则a1+a2+a3=3a1+3d=12．
又a1=2，得d=2．
∴an=2n．
（2）当x=0时，bn=0，Sn=0，
当x≠0时，令Sn=b1+b2+…+bn，
则由bn=anxn=2nxn，得
Sn=2x+4x2++（2n-2）xn-1+2nxn，①
xSn=2x2+4x3++（2n-2）xn+2nxn+1．②
当x≠1时，①式减去②式，得
（1-x）Sn=2（x+x2++xn）-2nxn+1
=-2nxn+1．
∴Sn=-．
当x=1时，Sn=2+4++2n=n（n+1）．
综上可得，当x=1时，Sn=n（n+1）；
当x≠1时，Sn=-．