Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，AA₁=，D是CB延长线上一点，且BD=BC．
（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的大小；
（3）求三棱锥C₁-ABB₁的体积．

Answer

（1）根据三棱柱的性质，可以证出BC1∥DB1，结合线面平行的判定定理可以证出直线BC1∥平面AB1D；
（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB1，根据三垂线定理得∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角．在Rt△BB1E中，利用三角函数的定义可算出∠B1EB=60°，即二面角B1-AD-B的大小为60°．
（3）过A作AF⊥BC于F，利用面面垂直的性质定理，可得AF⊥平面BB1C1C，即AF等于点A到平面B1C1B的距离．利用等边三角形计算出AF的长为，结合三角形B1C1B的面积等于，用锥体体积公式可以算出三棱锥C1-ABB1的体积．
【解析】
（1）∵CB∥C1B1，且BD=BC=B1C1，
∴四边形BDB1C1是平行四边形，可得BC1∥DB1．
又B1D⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，
∴直线BC1∥平面AB1D
（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB1
∵BB1⊥平面ABD，∴BE是B1E在平面ABD内的射影
结合BE⊥AD，可得B1E⊥AD，
∴∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角．
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，得BE是三角形ACD的中位线，所以BE=AC=．
在Rt△BB1E中，tan∠B1BE===
∴∠B1EB=60°，即二面角B1-AD-B的大小为60°
（3）过A作AF⊥BC于F，
∵BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面BB1C1C
∴平面BB1C1C⊥平面ABC
∵AF⊥BC，平面BB1C1C∩平面ABC=BC
∴AF⊥平面BB1C1C，即AF为点A到平面BB1C1C的距离．
∵正三角形ABC中，AF=×3=，
∴三棱锥C1-ABB1的体积VC1-ABB1=VA-C1BB1=××=．