Question

如图，已知椭圆的长轴A₁A₂与x轴平行，短轴B₁B₂在y轴上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线y=k₁x与椭圆交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0），直线y=k₂x与椭圆次于G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．求证：；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证：|OP|=|OQ|
（证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）

Answer

（Ⅰ）根据椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r），即可得椭圆方程，从而可得焦点坐标与离心率；
（Ⅱ）将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，利用韦达定理，可得；将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得，由此可得结论；
（Ⅲ）设点P（p，0），点Q（q，0），由C、P、H共线，得；由D、Q、G共线，可得  
，由此可得结论．
（Ⅰ）【解析】
∵椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心M（0，r），
∴椭圆方程为
焦点坐标为，
离心率
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程y=k1x代入椭圆方程，得
整理得
根据韦达定理，得，，
所以  ①
将直线GH的方程y=k2x代入椭圆方程，同理可得②
由 ①、②得   =
所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点P（p，0），点Q（q，0）
由C、P、H共线，得   
解得   
由D、Q、G共线，同理可得   
∴
由=变形得=
所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|