Question

有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处（建立坐标系如图）．
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，则P应位于何处？

Answer

（I）设出P的坐标，表示出P至三镇距离的平方和，利用配方法，可得结论；
（II）记，表示出P至三镇的最远距离，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得结论．
【解析】
（Ⅰ）由题设条件a＞b＞0，设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为=
所以，当时，函数f（y）取得最小值．
答：点P的坐标是
（Ⅱ）记
P至三镇的最远距离为
由解得，记，
于是
当，即h≥b时，
因为在[y*，+∞）上是增函数，而|h-y|在（-∞，y*]上是减函数．
所以y=y*时，函数g（y）取得最小值．点P的坐标是
当，即h＜b时，因为在[y*，+∞）上当y=0函数g（y）取得最小值b，而|h-y|在（-∞，y*]上是减函数，且|h-y|＞b，所以y=0时，函数g（y）取得最小值．
答：当h≥b时，点P的坐标是；当h＜b时，点P的坐标是（0，0），其中