Question

设函数f（x）=x²-alnx与g（x）=x-的图象分别交直线x=1于点A，B，且曲线y=f（x）在点A处的切
线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；        
（2）当a＞1时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；
（3）当a=时，不等式f（x）≥m．g（x）在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

1）求出函数f（x）和g（x）的导函数并求出它们在x=1的导数值，由导数值相等求出a的值则两个函数的解析式可求；
（2）把a=2代入两个函数解析式，求出函数h（x），求导后把导函数进行因式分解，然后由x=1对定义域分段，求出导函数在两段内的符号，判出单调性，从而求得函数h（x）的最小值；
（3）把a=分别代入函数f（x）和g（x）的解析式，分别求出导函数后判断各自导函数在x∈[，）上的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，进一步得到函数f（x）在x∈[，）上的最小值和函数g（x）在x∈[，）上上的最大值，把不等式f（x）≥m•g（x）分离参数m后求出 的最小值，则实数m的取值范围可求．
【解析】
（1）由f（x）=x2-alnx，得f′（x）=，所以f′（1）=2-a．
由g（x）=x-，得g′（x）=，所以g′（1）=．
又由题意可得f'（1）=g'（1），
即2-a=，故a=2，或a=
所以当a=2时，f（x）=x2-2lnx，g（x）=x-；
当a=时，f（x）=x2-lnx，g（x）=2x-．
（2）当a＞1时，a=2，h（x）=f（x）-g（x）=x2-2lnx-x+，
函数h（x）的定义域为（0，+∞）．
h′（x）=2x--+=-
=（-1）[]．
由x＞0，得＞0，
故当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）递减，
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增，
所以函数h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（1）=1-2ln1-+1=．
（3）当a=时，f（x）=x2-lnx，g（x）=2x-．
当x∈[，）上时，f′（x）=＜0，f（x）在x∈[，]上为减函数
f（x）≥f（）=+ln2＞0，
当x∈[，）上时，由g′（x）=＞0，
g（x）在x∈[，]上为增函数，g（x）≤g（）=1-，且g（x）≥g（）=0
要使不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[，]]上恒成立，当x=时，m为任意实数；
当x∈（，]]时，不等式f（x）≥m•g（x）化为m≤，
而[]min==．
所以m≤
所以当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[，]上恒成立的实数m的取值范围为（-∞，]．