Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q，且0＜q＜．
（1）在数列{a_n}中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由；
（2）若a₁=1，且对任意正整数k，a_k-（a_K+1+a_k+2）仍是该数列中的某一项．
（ⅰ）求公比q；
（ⅱ）若b_n=-log（+1），S_n=b₁+b₂+…+b_n，T_n=S₁+S₂+…+S_n，试用S₂₀₁₁ 表示T₂₀₁₁．

Answer

（1）由题意知数列{an}是递减正项数列，因此设ak、am、an（k＜m＜n）成等差数列，根据等差中项的定义列式并化简可得2qm-k=1+qn-k，结合公比0＜q＜可得此方程没有实数根，故数列{an}中不存在三项成等差数列．
（2））（i）化简得ak-（ak+1+ak+2）=a1qk-1[-（q-）2]，结合[-（q+）2]∈（，1）讨论可得只有ak-（ak+1+ak+2）=ak+1，得到方程q2+2q-1=0解之得q=（舍负）；
（ii）由等比数列的通项公式，结合对数运算性质得bn=，从而得到Sn=1+++…+，进而得到Tn=1+（1+）+（1++）+…+（1+++…+），对此式重新组合整理得Tn=（n+1）Sn-n，由此将n=2011代入即可得到用S2011 表示T2011的式子．
【解析】
（1）根据题意，an=a1qn-1，其中0＜q＜．
∵an＞0，∴an+1＜an对任意n∈N+恒成立，
设{an}中存在三项ak、am、an（k＜m＜n），满足成等差数列
则2am=ak+an，即2qm-k=1+qn-k，
由2qm-k＜1且1+qn-k＞1，可得上式不能成立．因此数列{an}中不存在三项，使其成等差数列．
（2）（i）ak-（ak+1+ak+2）=a1qk-1（1-q-q2）=a1qk-1[-（q-）2]
∵[-（q+）2]∈（，1），
∴ak-（aK+1+ak+2）＜ak＜ak-1＜…＜a2＜a1，且ak-（aK+1+ak+2）＞ak+2＞ak+3＞…
因此，只有ak-（ak+1+ak+2）=ak+1，化简可得q2+2q-1=0
解之得q=（舍负）；
（ii）∵a1=1，q=，
∴an=（）n-1，可得bn=-log（+1）==，
因此，Sn=b1+b2+…+bn=1+++…+，
Tn=S1+S2+…+Sn=1+（1+）+（1++）+…+（1+++…+）
=n+（n-1）+（n-2）+…+[n-（n-1）]=n（1+++…+）-（++…+）
=nSn-[（1-）+（1-）+…+（1-）]=nSn-[（n-1）-（++…+）]
=nSn-[n-（1+++…+）]=nSn-n+Sn=（n+1）Sn-n
由此可得：T2011=2012S2011-2011．