Question

已知函数f（x）=x³+ax与g（x）=2x²+b的图象在x=1处有相同的切线．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥mg（x）在[，2]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用函数f（x）=x3+ax与g（x）=2x2+b的图象在x=1处有相同的切线，建立方程，即可求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（x）≥mg（x）在[，2]上恒成立，等价于m≤=在[，2]上恒成立，利用基本不等式求最值，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3x2+a，g′（x）=4x，（2分）
由条件知ff（1）=g（1），ff′（1）=g′（1）
∴1+a=2+b，3+a=4
∴a=1，b=0；
（II）由（I）得f（x）=x3+x，g（x）=2x2，
不等式f（x）≥mg（x）在[，2]上恒成立，等价于m≤=在[，2]上恒成立，
∵≥=1，当且仅当x=1∈[，2]时取等号
∴m≤1．