Question

已知数列{a_n}的前n项和为．
（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，是否存在正整数n，使得对于任意的k∈N^*，都有不等式b_k≤b_n成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设T_n=|S₁|-|S₂|+…+|S_n|，求证：．

Answer

（I）利用向量的数量积公式，可得，再写一式，两式相减，即可证明数列为等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）对于任意的k∈N*，都有不等式bk≤bn成立，等价于，从而可得不等式组，即可确定存在正整数n；
（III）利用错位相减法，求Tn，代入计算，即可证得结论．
（I）证明：∵，
∴
∴
两式相减，整理可得
∴=-1
∴数列为公差为-1的等差数列
∵a1=-2
∴=-（n+1）
∴；
（Ⅱ）【解析】
=（2011-n）•2n-1
∵对于任意的k∈N*，都有不等式bk≤bn成立
∴
∴
∴2009≤n≤2010
∴bn的最大值为b2010=b2009
∴n=2010或n=2009；
（III）证明：由（I）得，，∴
∴Tn=1•2+2•22+…+n•2n
∴2Tn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-（n-1）•2n+1-2
∴Tn=（n-1）•2n+1+2
∴=（n-2）•2n-1+1
∵=（n-2）•2n-1
∴