Question

某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．
（Ⅰ）建立坐标系并写出该双曲线方程；
（Ⅱ）求冷却塔的容积（精确到10m³，塔壁厚度不计，π取3.14）．

Answer

（I）建立直角坐标系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴，设出B、C的坐标，利用B、C在双曲线上，塔高20m，可得双曲线的标准方程；
（II）利用定积分知识，可求冷却塔的容积．
【解析】
（I）如图建立直角坐标系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴．
设双曲线方程为，则．
又设B（11，y1），C（9，y2），
因为点B、C在双曲线上，所以有，①，②
由题意知y2-y1=20．③
由①、②、③得．
故双曲线方程为；
（II）由双曲线方程得．
设冷却塔的容积为V（m3），则=，
∴V≈4.25×103（m3）．
答：冷却塔的容积为4.25×103（m3）．