Question

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦；
（3）求多面体ABCDE的体积．

Answer

（1）证明线面平行，需要证明直线平行面内的一条直线即可．
（2）利用三垂线定理作出二面角的平面角即可求解．
（3）求多面体ABCDE的体积，转化两个三棱锥的体积之和，分别求解．
【解析】
方法一：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
取AC中点O，连接BO，DO，
则BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，
∴∠EBF=60°，易求得
所以四边形DEFO是平行四边形，DE∥OF；∵DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC
（2）作FG⊥BC，垂足为G，连接FG；
∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，
∵，
∴，
∴
即二面角E-BC-A的余弦值为．
（3）∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC∴OB⊥平面ACD；
又∵DE∥OB∴DE⊥平面DAC，
∴三棱锥E-DAC的体积，
又三棱锥E-ABC的体积，
∴多面体DE-ABC的体积为V=V1+V2=，
方法二：（1）同方法一
（2）建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
可求得平面ABC的一个法向量为，
平面BCE的一个法向量为，
所以=，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，
所以二面角E-BC-A的余弦值为．
（3）同方法一