Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上项点为B₁，右、右焦点为F₁、F₂，△B₁F₁F₂是面积为的等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知P（x，y）是以线段F₁F₂为直径的圆上一点，且x＞0，y＞0，求过P点与该圆相切的直线l的方程；
（III）若直线l与椭圆交于A、B两点，设△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H，请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗？若在请说明理由．

Answer

（I）利用三角形的面积公式和等边三角形的性质可得=，a=2c，又a2=b2+c2．即可解出．
（Ⅱ）由F1F2是圆的一条直径，可得圆的方程为x2+y2=1．又P（x，y）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，可得，解得．可得切线方程为，又，即可得出；．
（III）设A（x1，y1），B（x2，y2），据重心定理可得G，H．若原点O在以线段GH为直径的圆内⇔⇔x1x2+y1y2＜0，联立，可得y1+y2，y1y2，又，即可证明x1x2+y1y2＜0．
【解析】
（I）∵=，a=2c，a2=b2+c2．
解得c2=1，b2=3，a2=4，
∴椭圆C的方程为：
（Ⅱ）∵F1F2是圆的一条直径，∴圆的方程为x2+y2=1，
又P（x，y）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，
∴，解得．
∴切线方程为，又，
化为l：xx+yy-1=0．
∴切线方程为l：xx+yy-1=0．
（III）设A（x1，y1），B（x2，y2），则G，H．
若原点O在以线段GH为直径的圆内，则，即，即x1x2+y1y2＜0，
下面给出证明：联立，
消去x整理为，
∴，，
∴==，
∴x1x2+y1y2==-0．
∴原点O在以线段GH为直径的圆内．