Question

选修4-1：几何证明选讲
如图：AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为M，求证：
（I）DC是⊙O的切线；
（II）MB=DF．

Answer

（I）连接OC，则∠OAC=∠OCA，利用角平分线的性质可得∠OCA=∠OAC=∠CAF，于是OC∥AD．再利用已知AD⊥CD，可得OC⊥CD．利用切线的判定定理即可．
（II）连接BC、FC，可得A、B、C、F四点共圆，可得∠CFD=∠CBM，又CD=CM，∠CDF=∠CMB．于是RT△CDF≌RT△CMB，即可得出．
证明：（I）连接OC，则∠OAC=∠OCA，
又∵CA是∠BAF的角平分线，∴∠OCA=∠OAC=∠CAF，
∴OC∥AD．
又∵AD⊥CD，∴OC⊥CD．
∴DC是⊙O的切线；
（II）连接BC、FC，∵A、B、C、F四点共圆，
∴∠CFD=∠CBM，又CD=CM，∠CDF=∠CMB．
∴RT△CDF≌RT△CMB，∴MB=DF．