Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′D的中点
（I）求证：EF∥平面A′BC；
（II）求三棱锥A′-BCE的体积．

Answer

（I）取A′C的中点M，连接MF，MB，利用题设条件推导出四边形EBMF为平行四边形，从而得到EF∥MB，由此能够证明EF∥平面A′BC．
（II）过A′作A′S⊥DE，S为垂直足，由题设条件推导出A′S⊥平面BCDE，再由AB=4，AD=2，得到，由此能求出三棱锥A′-BCE的体积．
【解析】
（I）取A′C的中点M，连接MF，MB，
∵在矩形ABCD中E为AB的中点，F为线段A′D的中点，
∴EB，FM，
∴FMEB，∴四边形EBMF为平行四边形，
∴EF∥MB，
∵EF⊄平面A′BC，MB⊂平面A′BC，
∴EF∥平面A′BC．
（II）过A′作A′S⊥DE，S为垂直足，
∵平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE=DE，
∴A′S⊥平面BCDE，
∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，∴，
∴===．