Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC₁上，且AC₁=4AF．
（1）求证：平面ADF⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：EF∥平面ABB₁A₁．

Answer

（1）欲证平面ADF⊥平面BCC1B1，可先证AD⊥平面BCC1B1，CD⊥AB，因AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，故只须证CC1⊥AD，这个可以根据直三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC得到；
（2）欲证EF∥平面ABB1A1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABB1A1内一直线平行，连结CF延长交AA1于点G，连结GB．根据中点条件及AC1=4AF可知EF∥GB，又EF⊄平面ABBA1，GB⊂平面ABBA1，满足定理所需条件，从而得出答案．
证明：（1）因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥平面ABC，
而AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．…（2分）
又AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，
因为BC∩CC1=C，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥平面BCC1B1，…（5分）
因为AD⊂平面ADF，
所以平面ADF⊥平面BCC1B1．…（7分）
（2）连结CF延长交AA1于点G，连结GB．
因为AC1=4AF，AA1∥CC1，所以CF=3FG，
又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE=3EB，
所以EF∥GB，…（11分）
而EF⊄平面ABBA1，GB⊂平面ABBA1，
所以EF∥平面ABBA1．…（14分）