Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F₁，F₂，且椭圆C过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用椭圆过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，及b2=a2-c2，建立方程，即可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论，利用直线l与椭圆C有只有一个公共点，确定k，p的关系，设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，建立方程，即可求得结论．
【解析】
（1）因为椭圆过点P（，），所以=1，解得a2=2，…（2分）
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，所以AF2⊥F2P，即-⋅=-1，所以b2=c（4-3c）．…（6分）
而b2=a2-c2=2-c2，所以c2-2c+1=0，解得c2=1，
故椭圆C的方程是+y2=1．…（8分）
（2）①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，
代入椭圆方程得（1+2k2）x2+4kpx+2p2-2=0．
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以△=16k2p2-4（1+2k2）（2p2-2）=8（1+2k2-p2）=0，
即1+2k2=p2．…（10分）
设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，则
⋅==1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k2+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得解得，或，…（14分）
而（**）不恒成立．
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±时，
定点（-1，0）、F2（1，0）到直线l的距离之积d1⋅d2=（-1）（+1）=1．
综上，存在两个定点（1，0），（-1，0），使其到直线l 的距离之积为定值1．…（16分）