Question

已知数列{a_n}中，a₂=a（a为非零常数），其前n项和S_n满足：S_n=
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=2，且a_m²-S_n=11，求m、n的值；
（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{a_n}中满足a_n+b≤p的最大项恰为第3p-2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用数列的项与前n项和的关系，将条件转化为数列的项之间的关系，判定数列为特征数列，再求通项公式；
（2）利用（1）的结论，求出m、n满足的关系，分析求解即可；
（3）根据条件an+b≤p求出n满足的条件，再根据满足an+b≤p的最大项始终为3P-2，转化为不等式的恒成立问题，分析求解即可．
【解析】
（1）由已知，得a1=S1==0，∴Sn=，
则有Sn+1=，
∴2（Sn+1-Sn）=（n+1）an+1-nan，即（n-1）an+1=nan  n∈N*，
∴nan+2=（n+1）an+1，
两式相减得，2an+1=an+2+an   n∈N*，
即an+1-an+1=an+1-an    n∈N*，
故数列{an}是等差数列．
又a1=0，a2=a，∴an=（n-1）a．
（2）若a=2，则an=2（n-1），∴Sn=n（n-1）．
由，得n2-n+11=（m-1）2，即4（m-1）2-（2n-1）2=43，
∴（2m+2n-3）（2m-2n-1）=43．
∵43是质数，2m+2n-3＞2m-2n-1，2m+2n-3＞0，
∴，解得m=12，n=11．
（3）由an+b≤p，得a（n-1）+b≤p．
若a＜0，则n≥+1，不合题意，舍去；     
若a＞0，则n≤+1．∵不等式an+b≤p成立的最大正整数解为3p-2，
∴3p-2≤+1＜3p-1，
即2a-b＜（3a-1）p≤3a-b，对任意正整数p都成立．
∴3a-1=0，解得a=，
此时，-b＜0≤1-b，解得＜b≤1．
故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=，＜b≤1．