Question

若不等式|a-1|≥x+2y+2z对满足x²+y²+z²=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．

Answer

不等式|a-1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a-1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2求出x+2y+2z的最大值，再解关于a的绝对值不等式即可．
【解析】
由柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2
即x+2y+2z≤3，当且仅当 且x2+y2+z2=1取等号，
即 x=，y=，z=时，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，
∴a≥4或a≤-2．
即实数的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）．