Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1且a₃，a₆，a₁₀+2成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前20项和S₂₀；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2^an，求证b_n•b_n+2＜b．

Answer

（I）根据题意，可得等差数列{an}的公差d＞0，由a3，a6，a10+2成等比，利用等比中项定义列式得到关于d的方程，解之得d=1，即可求出数列{an}的前20项和S20；
（II）由（I）的结论，得bn+1=bn+2an=bn+2n，采用累加的方法求出bn=2n-1．不等式的左右两边作差，并化简得
bn•bn+2-b=-2n＜0，由此即可得到原不等式恒成立．
【解析】
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
∵{an}的各项均为正数，∴d＞0，
又∵a3，a6，a10+2成等比数列
∴a62=a3（a10+2），即（1+5d）2=（1+2d）（3+9d），
整理得7d2-5d-2=0，解之得d=1（舍去-）
因此，数列{an}的前20项和S20=20a1+=20+190=210；
（II）由（I）得an=1+（n-1）×1=n，可得bn+1=bn+2an=bn+2n，
∴bn+1-bn=2n．
因此，b2-b1=2，b3-b2=22，b4-b3=23，…，bn-bn-1=2n-1，
将此n-1个式子相加，得bn-b1=2+22+23+…+2n-1=2n-2
∴bn=b1+2n-2=2n-1，（n≥2）
当n=1时，b1=1=21-1也成立，故对任意的n∈N+，均有bn=2n-1．
∴bn•bn+2-b=（2n-1）（2n+2-1）-（2n+1-1）2
=22n+2-2n+2-2n+1-（22n+2-2•2n+1+1）
=-2n+2-2n+2n+2=-2n＜0
由此可得不等式bn•bn+2＜b对任意的n∈N+恒成立．