Question

已知函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=-1，证明：对∀x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer

（I）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（II）当a=-1时，由（Ⅰ）f'（x）=-ex（x+2）（x-1），从而得出f（x）在[0，1]上单调增加；欲证对∀x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|＜2，只须证明f（x）在[0，1]上的最大值与最小值的差小于2即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f'（x）=ex（ax2+x+1+2ax+1）=ex（x+2）（x+1）．  （3分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（x+1）＞0，注意到a＞0，
∴当a∈（0，）时，f（x）在（-∞，-）上是增函数，在（-，-2）上是减函数，在（-2，+∞）上递增；
当a=时，f（x）在（-∞，+∞）上递增；
当a∈（，+∞）时，f（x）在（-∞，-2）上递增，
在（-2，-）上递减，在（-，+∞）上递增．           （8分）
（Ⅱ）∵a=-1，由（Ⅰ）f'（x）=-ex（x+2）（x-1），
∴f（x）在[0，1]上单调增加，
故f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1．
从而对∀x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|＜2．     （12分）