Question

设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（2，0）的距离之比为，并记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点（2，0）作直线l与曲线C相交于A、B两点，问C上是否存在点P，使得=+成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意利用两点间的距离公式可得：，整理即可．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+2．代入C的方程并整理得到根与系数的关系；假设存在点P，使成立⇔点P的坐标（x1+x2，y1+y2）满足椭圆的方程．又A、B在椭圆上，即满足椭圆的方程．可得x1x2+2y1y2+4=0，代入解得m，即可得到点P的坐标．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得：，整理得C：．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+2．
代入C的方程，并整理得（m2+2）y2+4my-4=0，显然△＞0．
由韦达定理有：，，①
假设存在点P，使成立，则其充要条件为：
点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．
整理得．
又A、B在椭圆上，即，．
故x1x2+2y1y2+4=0        ②
将x1x2=（my1+2）（my2+2）=m2y1y2+2m（y1+y2）+4及①代入②解得m2=2．
∴或，=2，即点P．     
所以，存在点P，使得，
这时直线l的方程为或．